•  الأنظمة الخلوية المتقدمة تعتمد أساسًا على الزمن (ToA/TDOA) مع تحسينات (AoA، فلاتر كالمان، إلخ).
• في 2G: TA + RSSI (تقريبية).
• في 4G/5G: OTDOA (فرق زمن) + AoA (+ أحيانًا مساعدة من GPS بالهاتف).

 

 

الآن لشرح TDOA (Time Difference of Arrival) وكيف يحسبون موقع الهاتف إذا سمع 3 أبراج أو أكثر:

• لقطع الناقص بشكل عام يكون "ممدود" في اتجاه ما (يعني بيضاوي الشكل).

• لكن إذا كانت المسافة من الموبايل إلى كلا البرجين متساوية → ساعتها يتشكل دائرة مركزها في منتصف المسافة بين البرجين.

• أما إذا كانت المسافة للموبايل إلى البرجين مختلفة (مثلاً أقرب للبرج الأول) → السطح (أو الخط ثنائي الأبعاد) اللي يحدد مكان الموبايل هو قطع ناقص.

   

شوف هنا 👆

🔹 الدائرة الحمراء الأولى تمثل كل النقاط الممكنة للهاتف على بعد 300 كم من المحطة الأولى.
🔹 الدائرة الزرقاء الثانية تمثل كل النقاط الممكنة على بعد 400 كم من المحطة الثانية.
🔹 المنطقة اللي يتقاطعوا فيها الدائرتين (اللون البنفسجي) هي الأماكن اللي ممكن

يكون فيها الهاتف بالضبط.

يعني:

• بمحطة وحدة → نعرف فقط دائرة احتمال.

• بمحطتين → نعرف تقاطع دائرتين (يصير عندنا نقطتين ممكنتين).

• بثلاث محطات → نعرف النقطة الوحيدة تقريبًا (التقاطع الثالث يحل الغموض).

هذا هو المبدأ نفسه في GPS والـ 4G/5G triangulation 👍

📌 باختصار:

• فرق المسافات ثابت = قطع ناقص.

• فرق المسافات = 0 = دائرة (حالة خاصة للقطع الناقص).

🔹 الفكرة الأساسية

• الهاتف يرسل إشارة.

• أكثر من برج (BTS) يستقبل هذه الإشارة.

• كل برج يسجل وقت وصول الإشارة.

• بما أن المسافات مختلفة → الأزمنة مختلفة.

• من فرق الأزمنة يمكن رسم دوائر/قطع ناقص تحدد موقع الهاتف.

🔹 الخطوات بالبساطة

1. فرضية

عندنا 3 أبراج: A و B و C.
الهاتف في مكان مجهول (X,Y).

 

2. قياس الأزمنة

• البرج A استقبل الإشارة بعد 10 ميكروثانية.

• البرج B استقبلها بعد 12 ميكروثانية.

• البرج C استقبلها بعد 15 ميكروثانية.

3. تحويل الزمن إلى مسافة

• بما أن الموجة تمشي بسرعة الضوء $≈ 300 متر/ميكروثانية$.

• المسافة إلى A ≈ 10 × 300 = 3000 متر.

• المسافة إلى B ≈ 12 × 300 = 3600 متر.

• المسافة إلى C ≈ 15 × 300 = 4500 متر.

4. حساب الفرق (TDOA)

• الفرق بين B و A = (12 – 10) ميكروثانية = 2 ميكروثانية = 600 متر فرق.

• الفرق بين C و A = (15 – 10) ميكروثانية = 5 ميكروثانية = 1500 متر فرق.

5. التحديد الهندسي

• الفرق بين برجين يعطي قطع ناقص (Hyperbola): مكان كل نقطة فيه يساوي فرق المسافة نفسه.

• بوجود فرقين (A-B و A-C) → نحصل على تقاطع منحنيين.

• النقطة المشتركة = موقع الهاتف.

مثال رقمي عملي كامل خطوة-بخطوة (بسيط وواضح) يوضح 

كيف نستخدم TDOA من ثلاث أبراج لإيجاد موقع هاتف  

المعطيات (ثلاث أبراج وإحداثياتها بالمتر)

• البرج A عند (0, 0)

• البرج B عند (4000, 0)

• البرج C عند (0, 3000)

لنفرض الهاتف في نقطة مجهولة؛ لتوضيح المثال سنأخذ نقطة حقيقية (مخفية لنا) 

ونحسب وصول الإشارات منها ثم نُعيد حل المعادلات ونستخرج نفس النقطة:

• نقطة الهاتف الحقيقية (للمثال): $P = (1200,\;800)$ متر.

ثابت السرعة نختصره للتسهيل:

• سرعة الموجة (تقريبًا): $c = 300$ متر / ميكروثانية
  (يعني في 1 µs الإشارة تقطع ~300 م — استخدمت µs لأنها تجعل الأرقام مريحة)

1) نحسب المسافات الحقيقية من الهاتف لكل برج

حساب المسافات (المسافة الإقليدية):

• $d_1$ مسافة من $P$ إلى A

  $\sqrt{{1200}^2+{800}^2}\approx 1442.2205$

  
  (هذه القيم حسب العمليات الجبرية أعلاه، أدرجت أربع خانات عشرية للوضوح.)

$d_2$ مسافة من $$ إلى B

d3​= مسافة من $$ إلى C

$\sqrt{1200^2 + (3000-800)^2} \approx 2505.9928$

(هذه القيم حسب العمليات الجبرية أعلاه، أدرجت أربع خانات عشرية للوضوح.)

2) نحسب أزمنة الوصول النسبية (وقت الرحلة = المسافة ÷ c)

• $t_1 = d_1 / c \approx 1442.2205 / 300 \approx 4.8074017$ µs

• $t_2=d_2\mathrm{/}c\approx 2912.0439\mathrm{/}300\approx 9.7068132$ µs

• $t_3 = d_3 / c \approx 2505.9928 / 300 \approx 8.3533094$ µs

3) نحسب فروق الأزمنة بالنسبة إلى البرج المرجعي (A)

نأخذ A كمرجع (t1) ونحسب الفرق:

• الفرق B - A: $\tau_{21} = t_2 - t_1 \approx 9.7068132 - 4.8074017 = 4.8994115$ µs
  هذا يقابل فرق مسافات   $\Delta d_{21} = c \cdot \tau_{21} \approx 300 \times 4.8994115 \approx 1469.8234$ 

   (وهذا يساوي عمليًا $d_2 - d_1$.)

• الفرق C - A: ${\tau }_{31}=t_3-t_1\approx 8.3533094-4.8074017=3.5459077$ µs
  → فرق مسافات $\mathrm{\Delta }{d}_{31}=300\times 3.5459077\approx 1063.7723$ م
  (أي تقريبًا $d_3-d_1$.)

4) نكتب معادلات TDOA غير الخطية

نريد (x,y) بحيث:

هذان معادلتان غير خطيتان في $x,y$. 

الجيولوجيا الهندسية تقول أن كل فرق مسافتين يحدد قطعًا ناقصًا (hyperbola)، 

وتقاطع قطعيْن يعطي نقطة وحيدة (باستخدام 3 أبراج).

5) حل رقمّي (إثبات عملي)

نحل النظام العددي (مثلاً بواسطة حلّال رقمي أو خوارزمية Newton) فنجده:

• الحلّ $(x, y) = (1200.0,\;800.0)$ متر — نفس النقطة التي اخترناها بالبداية.

هذا يُظهر كيف فروق الأزمنة بين ثلاثة أبراج تكفي لتحديد موقع نقطة ثنائية الأبعاد (2D). 

===================

تحديد الموقع باستعمال التثليث (Trilateration)

في هذا الشرح نعرض الطريقة الرياضية البسيطة لتحديد موقع نقطة
$(x,y)$ باستعمال ثلاث محطات إرسال (BTS)، وهي نفس الفكرة المستعملة
في GPS وشبكات الاتصالات.

1) معادلة الدائرة لكل برج

ليكن لكل برج $i$ مركزه $(x_i, y_i)$ ونصف قطره $r_i$
(المسافة بين الهاتف والبرج، مأخوذة من TA أو من قياس زمني).

معادلة الدائرة هي:

\[
(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2 = r_i^2
\]

نملك ثلاث معادلات، واحدة لكل برج:

\[
\begin{cases}
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2 \\
(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2 \\
(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 = r_3^2
\end{cases}
\]


 تحويل النظام إلى معادلات خطية

نطرح المعادلة الأولى من الثانية:

\[
2(x_2 - x_1)x + 2(y_2 - y_1)y
= r_1^2 - r_2^2 + x_2^2 - x_1^2 + y_2^2 - y_1^2
\]

ونطرح المعادلة الأولى من الثالثة:

\[
2(x_3 - x_1)x + 2(y_3 - y_1)y
= r_1^2 - r_3^2 + x_3^2 - x_1^2 + y_3^2 - y_1^2
\]

نكتبها بشكل مبسط:

\[
\begin{cases}
A_1 x + B_1 y = C_1 \\
A_2 x + B_2 y = C_2
\end{cases}
\]

حيث:

\[
A_1 = 2(x_2 - x_1), \quad
B_1 = 2(y_2 - y_1), \quad
C_1 = r_1^2 - r_2^2 + x_2^2 - x_1^2 + y_2^2 - y_1^2
\]

\[
A_2 = 2(x_3 - x_1), \quad
B_2 = 2(y_3 - y_1), \quad
C_2 = r_1^2 - r_3^2 + x_3^2 - x_1^2 + y_3^2 - y_1^2
\]

---

3) حل النظام (قاعدة كرامر)

نحسب المحدد:

\[
\Delta = A_1 B_2 - B_1 A_2
\]

إذا كان $\Delta \neq 0$ فإن الحل هو:

\[
x = \frac{C_1 B_2 - B_1 C_2}{\Delta}
\]

\[
y = \frac{A_1 C_2 - C_1 A_2}{\Delta}
\]

---

4) مثال رقمي

مراكز الأبراج:

\[
A(0,0), \quad B(4000,0), \quad C(0,3000)
\]

أنصاف الأقطار:

\[
r_1 = 1442.22, \quad r_2 = 2912.04, \quad r_3 = 2505.99
\]

نحسب المعاملات:

\[
A_1 = 8000, \quad B_1 = 0
\]

\[
A_2 = 0, \quad B_2 = 6000
\]

فتصبح المعادلات:

\[
8000x = C_1
\]

\[
6000y = C_2
\]

وبالحساب العددي نحصل على:

\[
x \approx 1200, \quad y \approx 800
\]

إذن موقع الهاتف هو تقريبًا:

\[
(x,y) = (1200,\;800)
\]

---

\subsection*{5) ملاحظات مهمة}

\begin

\item باستعمال أكثر من 3 أبراج يمكن استخدام طريقة

 \textbf{Least Squares}
 

لتحسين الدقة.
\item

 أخطاء القياس في $r_i$ تؤثر مباشرة على النتيجة، لذلك تُستعمل
خوارزميات فلترة مثل Kalman Filter.
 

\item إذا كانت الأبراج على استقامة واحدة يصبح الحل غير مستقر
($\Delta = 0$).
\end{itemize}